Calculo de la velocidad del viento

Actualizado: 21 de ago de 2019


El objetivo de este artículo es proporcionar una formula de fácil aplicación para el cálculo de la velocidad del viento a partir de las curvas isobaras de un mapa meteorológico. La estimación de la velocidad del viento desde las isobaras es una capacidad que no puede faltar entre las habilidades de un capitan de alta mar.


En el articulo he querido desarrollar los todos los procedimientos matemáticos y razonamientos físicos para llegar a la fórmula final.


Quien no tenga conocimientos matemáticos suficientes, o no quiera seguir toda la demostración, puede ir directamente al final de la pagina a la formula final simplificada (párrafo 3)


Al termine del articulo, como complemento, se muestra cómo aplicar la formula simplificada de calculo a un caso práctico real (párrafo 4).




1. Desarrollo teorico


Consideremos un elemento de fluido que, en nuestro caso, es un elemento cúbico de atmósfera infinitesimal de lados dx, dy, dz. Para este elemento elegimos un sistema de coordenadas cartesianas de referencia x, y, z.



Figura 1: Representación sistema de referencia

Como se aprecia en la figura 1, el eje x está orientado hacia el sur, el lado y hacia el este y el eje z esta orientado según la vertical del lugar. El vector ω en figura representa la velocidad angular de la Tierra.

(con dm la masa infinitesimal del elemento cubico de aire)


El vector a representa la aceleración del elemento de aire y el vector dF el conjunto de las fuerzas que actúan sobre el elemento. Podemos volver a escribir la ecuación de forma ligeramente distinta y más útil a nuestro objetivo (recordando que el vector aceleración a es la derivada de la velocidad respecto al tiempo).


Ahora simplemente tenemos que averiguar las fuerzas que determinan dF. Podemos identificar cuatro fuerzas fundamentales que actúan sobre el elemento de volumen de aire.


Tenemos la fuerza de gravedad, que actúa según el eje vertical z, la fuerza de gradiente de presión Fgr que actuará, en general, en una dirección cualquiera, la fuerza aparente de Coriolis dFc debida a la rotación terrestre, la fuerza de gravedad dG y otras fuerzas dFr (fuerzas de fricción).




Podemos, por lo tanto, volver a escribir la ecuación de esta forma:







Analicemos el primer término, debido al gradiente de presión y veamos como se obtiene.

Con referencia al elemento de volumen cubico de la figura podemos escribir la componente de la fuerza que actúa en dirección del eje x como:




Componente que podemos volver a escribir, considerando el vector unitario i en la dirección del eje x:




Dividiendo y multiplicando por el diferencial dx, podemos volver a escribir la expresión en términos de la derivada parcial según x:




Razonando similarmente para las componentes “y” y “z”, obtenemos la fuerza de gradiente de presion:





Que podemos volver a escribir como:





Recordemos que todavía tenemos que dividir por la masa dm del elemento de volumen cúbico.

Tengamos ahora en cuenta que:





Y que:





El primer término, debido al gradiente de presión, al final resulta:





Este termino es exactamente el primer termino de la expresión de la ecuación inicial (Ecuación general). El segundo término de la ecuación general, expresa la fuerza aparente de Coriolis (dFc, causada por la rotación terrestre. Cada cuerpo de masa dm que se mueva con velocidad V en la superficie de la Tierra, experimenta una fuerza:




donde X expresa el producto vectorial. El vector resultante del producto vectorial es perpendicular al plano de ω y V de forma que ω, V y dFc formen un sistema dextrógiro. Su valor en modulo es:

(θ es el ángulo formado por los dos vectores).



Así que el segundo termino de la ecuación inicial es:





Los demás términos, auto-explanatorios, de la ecuación general son:


Lo que queremos hacer ahora es escribir la ecuación general del inicio descomponendola según los ejes x, y, z. Queremos escribir las componentes de la ecuación según los ejes del sistema de referencia.

Por lo que se refiere al termino de gradiente las distintas componentes ya las hemos determinado antes, esas son:





según los ejes x, y, z respectivamente.


Cuales son las componentes del vector resultante del producto vectorial del termino (2) de la ecuación?

Desarrollemos el producto vectorial en sus componentes en el sistema de referencia.





Con ωy = 0, representando la proyección del vector ω sobre el eje y en dirección este (que resulta nula).

Si el ángulo φ representa la latitud, entonces son válidas las siguientes equivalencias.







Desarrollando por completo el determinante obtenemos:




Y sustituyendo las expresiones para ωx, ωy, ωz, obtenemos para las distintas componentes del vector aceleración centripeta ac:



El factor 2 ω sinφ, en meteorologia, se indica a menudo con f (parametro de Coriolis).

Ahora podemos escribir las distintas componentes del termino vectorial dV/dt y obtener el sistema de ecuaciones que describe la dinámica de nuestro elemento de aire:










En la componente referida al eje y, el termino 2 ω Vz cosφ es en general muy pequeño y puede ser eliminado. También el termino del eje z, 2 ω Vy cosφ, en general no se considera por ser pequeño si lo comparamos con el término de la presión y de g. Al final considerando estas últimas simplificaciones podemos escribir las ecuaciones generales del inicio de esta forma:








( 2 ω sinφ = f, con f parametro de Coriolis)



2. Simplificaciones para un uso practico de la formula


Ahora veamos como podemos utilizar estas ecuaciones de una forma muy simplificada que nos permitirá hacer cálculos de forma muy rápida.

Primero tenemos que hacer algunas asunciones y simplificaciones.

Analicemos la típica area de bajas presiones o borrascas como la representada en la figura 2.

Conocemos algunas cosas en relación a la circulación del aire alrededor de una borrasca, como la representada en figura, que nos permite hacer unas radicales simplificaciones.

Figura 2: Tipica configuración isobaras de una depresión

Primero estamos interesados en la circulación del aire en el plano horizontal. Podemos por esto considerar únicamente las primeras dos ecuaciones, en el plano x,y.


Podemos además no considerar las otras fuerzas de fricción y podemos eliminarlas, porque a suficiente altura no tienen casi efecto en la velocidad del viento. Podremos considerarlas en un segundo momento aplicando un coeficiente de reducción de velocidad en proximidad de la superficie del mar.

Podemos asumir sin cometer errores significativos que en un entorno bastante grande de las isobaras la presión varíe de forma bastante lineal. Además pondremos nuestra atención en los estratos bajos de la atmósfera, en proximidad de la superficie del mar y consideraremos ρ aproximadamente constante. Por todos estos motivos podemos escribir la ecuación en términos finitos en lugar de considerarla en términos diferenciales infinitesimales. Por ello, podemos volver a escribir las dos ecuaciones que nos interesan, en el plano x-y, de esta forma mas útil.

Después de todas estas consideraciones nuestras ecuaciones en términos finitos se reducen a:






Sabemos ademas que el gradiente de presion está en dirección perpendicular a las isobaras y está dirigido hacia el centro de la depresión.

Asimismo sabemos que la velocidad esta dirigida, como representado en figura, tangente a las isobaras.

Además sabemos que la velocidad en modulo, en régimen estacionario, no varia en el entorno del generico punto A, variando solo su dirección.

Por eso mismo la aceleración del elemento de aire equivale en modulo exclusivamente a la aceleración centripeta y esta dirigida hacia el centro de la borrasca y perpendicularmente a las isobaras. Que significa:




No obstante para velocidades del viento no extremadamente altas y moderada curvatura de las isobaras podemos despreciar este termino con respecto a f V (tipicamente tenemos un orden de magnitud de diferencia), y por este motivo igualarlo a cero, resultando:





Donde f es el parámetro de Coriolis y equivale a 2 ω sinφ, con φ latitud en el punto A.

Teniendo en cuenta que:




Se obtiene:





Escribiendo la ecuación general en términos vectoriales y calculando el modulo del vector aceleración centripeta, obtenemos:




Y desarrollando el modulo del vector:








Y finalmente:




Solvendo ahora para V, se obtiene la formula final simplificada:





3. Formula final para el calculo de la velocidad del viento


La expresión general simplificada para el calculo del viento, obtenida anteriormente, es la siguiente:




(donde para Δp se puede usar la diferencia de presión entre dos isobaras y para Δs la distancia entre las mismas).


Esta formula, debido a sus aproximaciones, es valida para latitudes mayores de 20º (Norte o Sur).


Para poder utilizar esta expresión de forma rápida y sencilla todavía tenemos que seguir algunos pasos, sustituyendo en la misma algunos valores numéricos.


Recordemos que f = 2 ω sinφ (parametro de Coriolis), que φ representa la latitud del punto donde queramos estimar la velocidad del viento y que ω representa la velocidad angular de rotación de la Tierra.


Veamos los valores de algunas constantes:






Si expresamos la diferencia de presión en Hectopascales y la distancia en grados (1grado = 60 millas náuticas) y sustituimos y normalizamos los valores para tener el resultado en nudos obtenemos (saltando los pasos elementales):





Si queremos expresar la distancia en millas náuticas en lugar que grados la formula seria:





No habiendo tenido en cuenta las fuerzas de fricción a nivel del mar y habiendo aproximado la formula por exceso, la estimación de la velocidad media del viento será más conservadora, y por lo tanto en favor de la seguridad, dando valores medios ligeramente en exceso.



4. Aplicación práctica


Estimemos la velocidad del viento en el punto A del mapa meteorológico de la figura 3 siguiente.

Empecemos por determinar todos los valores.

Figura 3: Mapa meteorologico con isobaras y frentes

Para el punto A, podemos utilizar las isobaras de 1000 y 1004 hPa y tener en cuenta que la latitud es aproximadamente 53º.





Sustituimos estos valores en la formula:




Y obtenemos:





La formula, come se puede ver, es de muy fácil aplicación y nos da de forma rápida una estimación de la velocidad del viento cuando tengamos a disposición exclusivamente un mapa meteorológico.

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